Question

6．設△ABC的內角A，B，c的對邊分別為a，b，c，A=$\frac{π}{6}$．
（1）若B=$\frac{π}{4}$，求$\frac{a}$；
（2）若B=$\frac{2π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，求BC邊上的中線長．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$可得：$\frac{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$，利用特殊角的三角函數值即可求值．
（2）利用三角形內角和可求C，由正弦定理可解得c的值，在△ABD中，由余弦定理即可解得AD的值，即可得解．

解答 解：（1）∵A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$可得：$\frac{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$…4分
（2）∵B=$\frac{2π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{6}$，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
∴AB=BC，由正弦定理可得c=2，取BC中點D，在△ABD中，由余弦定理可得：AD²=AB²+BD²-2×AB×BD×cosB=7，
∴AD=$\sqrt{7}$，即BC邊上的中線長為$\sqrt{7}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內角和定理，特殊角的三角函數值的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．