Question

6．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，-acosx），$\overrightarrow{n}$=（-2acosx，2cosx），設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+3a+b，其中a≠0．
（1）求$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$及其函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）若函數(shù)y=f（x）的定義域為[-$\frac{π}{2}$，0]時值域為[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積定義和三角函數(shù)公式可得$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）-a，代入可得f（x）；
（2）由題意可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，分類討論當a＞0和a＜0時，分別可得ab的方程組，解方程組可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，-acosx），$\overrightarrow{n}$=（-2acosx，2cosx），
∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-2$\sqrt{3}$asinxcosx-2acos²x=-$\sqrt{3}$asin2x-a（1+cos2x）
=-a-2a（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）-a，
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+3a+b=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
當a＞0時，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2a×\frac{1}{2}+2a+b=2}\\{-2a×（-1）+2a+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
當a＜0時，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2a×\frac{1}{2}+2a+b=5}\\{-2a×（-1）+2a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及向量數(shù)量積的運算和分類討論解決三角函數(shù)的最值，屬中檔題．