Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱BC的中點(diǎn)，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C₁Q-C的余弦值為，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】分析：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，分別求出平面C₁PQ法向量和面C₁PQ的一個(gè)法向量，然后求出兩法向量的夾角，建立等量關(guān)系，即可求出參數(shù)λ的值．
解答：解：以為正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；
A₁（0，0，4），B₁（4，0，4），C₁（4，4，4），
D₁（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．（2分）
設(shè)平面C₁PQ法向量為，
而，，
所以，
可得一個(gè)法向量=（1，-2（λ-1），（λ-1）），（6分）
設(shè)面C₁PQ的一個(gè)法向量為，
則，（8分）
即：，又因?yàn)辄c(diǎn)Q在棱CD上，所以．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二面角的度量，準(zhǔn)確的建系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，熟悉向量的坐標(biāo)表示，熟悉空間向量的計(jì)算在幾何位置的證明，在有關(guān)線段，角的計(jì)算中的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．