已知圓的方程x2+y2=4,若拋物線過點A(0,-1),B(0,1)且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點軌跡方程是( 。
A、
x2
3
+
y2
4
=1(y≠0)
B、
x2
4
+
y2
3
=1(y≠0)
C、
x2
3
+
y2
4
=1(x≠0)
D、
x2
4
+
y2
3
=1(x≠0)
分析:設(shè)出切線方程,表示出圓心到切線的距離求得a和b的關(guān)系,設(shè)出焦點坐標(biāo),根據(jù)拋物線的定義求得點A,B到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點的距離,然后兩式平方后分別相加和相減,聯(lián)立后求得x和y的關(guān)系式.
解答:解:設(shè)切線ax+by-1=0,圓心到切線距離等于半徑
1
a2+b2
=2
a2+b2
=
1
2
,∴a2+b2=
1
4

設(shè)焦點(x,y),拋物線定義,
(y+1)2+x2
=
|-a-1|
a2+b2

(y-1)2+x2
=
|a-1|
a2+b2

平方相加得:2x2+2+2y2=8(a2+1)
相減得:4y=16a,a=
y
4

所以2x2+2+2y2=8(
y2
16
+1)
即:
x2
3
+
y2
4
=1

依題意焦點不能與A,B共線
∴x≠0
故拋物線的焦點軌跡方程為
x2
3
+
y2
4
=1(x≠0)

故選C
點評:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想及綜合分析問題的能力.
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A、-
4
3
B、-
3
4
C、-
5
4
D、-
4
5

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