Question

將函數(shù)y=sinx圖象上的所有點(diǎn)向左平移

π

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個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C₁，再把曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）=g（x）-cos2x-1，求f（x）的最小正周期；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)y=f（x）-k在[0，π）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用圖象的變換規(guī)律，即可求出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)f（x）=g（x）-cos2x-1，即可求f（x）的最小正周期；
（3）求出-2≤f（x）≤0，利用函數(shù)y=f（x）-k在[0，π）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

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個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x+

π

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），
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)g（x）=sin（2x+

π

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）；
（2）f（x）=g（x）-cos2x-1=sin（2x+

π

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）-cos2x-1=sin（2x-

π

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）-1，
∴f（x）的最小正周期為π；
（3）∵x∈[0，π），
∴-1≤sin（2x-

π

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）≤1，
∴-2≤f（x）≤0，
∵函數(shù)y=f（x）-k在[0，π）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴-2＜k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．