Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M為線段AD的中點(diǎn)．
（1）求直線MF與直線BD所成角的余弦值；
（2）若平面ABF與平面DBF所成角為θ，且tanθ=2

2

，求線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用平面ABCD⊥平面ADEF，證明MF⊥BD，即可得出結(jié)論．
（2）向量法：以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在直線分別為x軸和y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出二面角A-BF-D中兩個半平面的法向量，進(jìn)而構(gòu)造AB長的方程，解方程可得答案．

解答： 解：（1）由已知得△ADF為正三角形，所以MF⊥AD，
因為平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，MF?平面ADEF，
所以MF⊥BD，所以所成角的余弦值為0…（5分）
（2）設(shè)AB=x，以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在直線分別為x軸和y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則F（0，0，0），A（-2，0，0），D(-1，

3

，0)，B（-2，0，x），
所以

DF

=(-1，

3

，0)，

BF

=(2，0，-x)．
因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取

n

1=(0，1，0)．
設(shè)

n

2=(a，b，c)為平面DBF的法向量，則

2a-cx=0 a- 3 b=0

可取

n

2=(

3

，1，

2 3

x

)．
由tanθ=2

2

得cosθ=

1

3

，所以

| n 1• n 2|

| n 1|•| n 2|

=

1

3

得x=

2

5

15

所以AB=

2

5

15

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求法．向量法的關(guān)鍵是構(gòu)造空間坐標(biāo)系，求出二面角A-BF-D中兩個半平面的法向量．