Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+2（n≥1，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$，且{c_n}的前n項(xiàng)和為K_n，求證：K_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；
（2）求得b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理可得所求和；
（3）求得c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，注意從第四項(xiàng)放縮，化簡整理即可得證．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+2①∴a_n=S_n-1+2②
當(dāng)n≥2時①-②a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，即a_n+1=2a_n，
數(shù)列{a_n}為公比q=2的等比數(shù)列．
當(dāng)n=1時，a₂=a₁+2=4，a₂=2a₁=4也滿足a_n+1=2a_n．
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
前n項(xiàng)和T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，③
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，④
③-④：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（3）證明：由（2）可得c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），
前n項(xiàng)和為K_n=$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{2}}$+$\frac{8}{{7}^{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$＜2+$\frac{4}{9}$+$\frac{8}{49}$+2（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{31}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
=2+$\frac{4}{9}$+$\frac{22}{49}$-$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，
∵$\frac{4}{9}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{22}{49}$-$\frac{2}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}$
∴K_n＜2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=3，
即K_n＜3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用遞推式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，同時考查不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法和裂項(xiàng)相消求和法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．