Question

15．如果一個函數(shù)f（x）在定義域D中滿足：（1）任意x₁，x₂∈D，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；（2）存在x₁，x₂∈D，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則f（x）可以是（　　）

• A． f（x）=x²+2x
• B． f（x）=cosx
• C． f（x）=2x-1
• D． f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別進行驗證，依次進行判斷即可．

解答 解：A．∵f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+2×（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁-$\frac{1}{2}$x₂²-x₂=-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$＜0恒成立，
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；成立，滿足條件．
B．f（x）=cosx的圖象不滿足條件．比如當x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$時，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$（0+1）=$\frac{1}{2}$，不滿足條件f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
C．f（x）=2x-1為單調函數(shù)，不滿足條件．
D．f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）為單調函數(shù)，不滿足條件．
故選：A

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)定義轉化為進行判斷或者使用排除法是解決本題的關鍵．