已知直線過定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線與交于兩點(diǎn)，以為切點(diǎn)分別作的切線，兩切線交于點(diǎn).

①求證：；②若直線與交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

 

【答案】

(1) (2) 根據(jù)直線斜率互為負(fù)倒數(shù)來得到證明，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值。

【解析】

試題分析：（I）由題意知，設(shè)

化簡得     3分

（Ⅱ）①設(shè)，，

由消去，得，顯然.

所以， 

由，得，所以，

所以，以為切點(diǎn)的切線的斜率為，

所以，以為切點(diǎn)的切線方程為，又，

所以，以為切點(diǎn)的切線方程為……（1）

同理，以為切點(diǎn)的切線方程為……（2）

（2）-（1）并據(jù)得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

代入（1）易得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，顯然

當(dāng)時(shí)，，從而   8分

②由已知，顯然直線的斜率不為0，由①知，所以，

則直線的方程為，

設(shè)設(shè)，，

由消去，得，顯然，

所以，.

又

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508391309701610/SYS201305150839427376348941_DA.files/image033.png">，所以，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值    13分

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是借助于向量的模來表示得到軌跡方程，并聯(lián)立方程組來得到弦長公式，進(jìn)而得到面積的表示，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點(diǎn)E在直線l上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA，EB，切點(diǎn)為A、B．
（�。┣笞C：直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）在直線l上是否存在一點(diǎn)E，使得△ABM為等邊三角形（M點(diǎn)也在直線l上）？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比到點(diǎn)F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設(shè)PQ、RS的中點(diǎn)分別為A、B，若
PQ
•
RS
=0，求|
AB
|最小時(shí)，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點(diǎn)T，使得
AF
=λ
TB
-
FT
？若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)M滿足：|MA|2-|MB|2=4（|MB|-1），其中A（0，-1），B（0，1）．
（Ⅰ）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過N（-2，1）作兩條直線交（Ⅰ）中軌跡C于P，Q，并且都與“以A為圓心，r為半徑的動圓”相切，求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

平面直角坐標(biāo)系中，已知直線:，定點(diǎn)，動點(diǎn)到直線的距離是到定點(diǎn)的距離的2倍.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若為軌跡上的點(diǎn)，以為圓心，長為半徑作圓，若過點(diǎn)可作圓的兩條切線,（，為切點(diǎn)），求四邊形面積的最大值．

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