Question

19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD⊥BC，AC=5$\sqrt{3}$，CD=5，BD=2AD．
（Ⅰ）求AD的長；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)AD=x，分別在△ACD和△ABC中使用余弦定理計(jì)算cosA，列方程解出x；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論計(jì)算sinA，代入面積公式計(jì)算．

解答 解：（1）設(shè)AD=x，則BD=2x，∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-25}$．
在△ACD中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{D}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{50+{x}^{2}}{10\sqrt{3}x}$，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$\frac{100+5{x}^{2}}{30\sqrt{3}x}$．
∴$\frac{50+{x}^{2}}{10\sqrt{3}x}$=$\frac{100+5{x}^{2}}{30\sqrt{3}x}$，解得x=5．
∴AD=5．
（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA=$\frac{50+25}{50\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA=$\frac{1}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•ABsinA$=$\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×15×\frac{1}{2}$=$\frac{75\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．