Question

6．已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1+a+1，a∈R．
（1）當a=1時，解方程f（x）-1=0；
（2）當0＜x＜1時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=的值代入，將2^x看作一個整體，解出2^x的值，從而求出x的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞${（\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}）}_{max}$，令2^x=t∈（1，2），g（t）=$\frac{{t}^{2}+1}{2t-1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（t）的最大值，從而求出a的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為a=$\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}$有交點，根據(jù)（2）求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=4^x-22^x+2，
f（x）-1=（2^x）²-2•（2^x）+1=（2^x-1）²=0，
∴2^x=1，解得：x=0；
（2）4^x-a•（2^x+1-1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2^x-1）＜4^x+1，
∵2^x+1＞1，
∴a＞${（\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}）}_{max}$，
令2^x=t∈（1，2），g（t）=$\frac{{t}^{2}+1}{2t-1}$，
則g′（t）=$\frac{{2t}^{2}-2t-2}{{（2t-1）}^{2}}$=$\frac{2{（t}^{2}-t-1）}{{（2t-1）}^{2}}$=0，
t=t₀，∴g（t）在（1，t₀）遞減，在（t₀，2）遞增，
而g（1）=2，g（2）=$\frac{5}{3}$，
∴a≥2；
（3）若函數(shù)f（x）有零點，
則a=$\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}$有交點，
由（2）令g（t）=0，解得：t=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故a≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點問題，是一道中檔題．