Question

13．設(shè)a∈{2，4}，b∈{1，3}，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx+1，則f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)的概率（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)，可得f′（x）=ax+b≤0在區(qū)間（-∞，-1]上恒成立，由此列式得到a，b的關(guān)系，寫出所有數(shù)對(duì)（a，b），再由古典概型概率計(jì)算公式得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx+1，則f′（x）=ax+b，
由題意得f′（x）=ax+b≤0在區(qū)間（-∞，-1]上恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-a+b≤0}\end{array}\right.$，即b≤a．
由a∈{2，4}，b∈{1，3}，得數(shù)對(duì)（a，b）共有（2，1），（2，3），（4，1），（4，3）四對(duì)．
滿足b≤a的有3對(duì)．
∴概率P=$\frac{3}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查古典概型概率計(jì)算公式的求法，是基礎(chǔ)題．