【題目】已知函數(shù),記為的導函數(shù).
(1)若的極大值為,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù),求在上取到最大值時的值;
(3)若關(guān)于的不等式在上有解,求滿足條件的正整數(shù)的集合.
【答案】(1);(2)時,;時,;(3).
【解析】分析:(1)利用導數(shù)求函數(shù)的極大值,再解方程f (x)極大值=0得到a的值. (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求函數(shù)的最大值. (3) 設(shè)h (x)=f(x)-f ′(x)=2x3-3(a+2)x2
+6ax+3a-2,先把問題轉(zhuǎn)化為h (x)≥0在有解,再研究函數(shù)h(x)的圖像性質(zhì)分析出正整數(shù)a的集合.
詳解:(1)因為f (x)=2x3-3ax2+3a-2(a>0),
所以f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).
令f'(x)=0,得x=0或a.
當x∈(-∞,0)時,f'(x)>0,f (x)單調(diào)遞增;
當x∈(0,a)時,f'(x)<0,f (x)單調(diào)遞減;
當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,f (x)單調(diào)遞增.
故f (x)極大值=f (0)=3a-2=0,解得a=.
(2)g (x)=f (x)+6x=2x3-3ax2+6x+3a-2(a>0),
則g′(x)=6x2-6ax+6=6(x2-ax+1),x∈[0,1].
①當0<a≤2時,△=36(a2-4)≤0,
所以g′(x)≥0恒成立,g (x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
則g (x)取得最大值時x的值為1.
②當a>2時,g′(x)的對稱軸x=>1,且△=36(a2-4)>0,g′(1)=6(2-a)<0,g′(0)=6>0,
所以g′(x)在(0,1)上存在唯一零點x0=.
當x∈(0,x0)時,g′(x)>0,g (x)單調(diào)遞增,
當x∈(x0,1)時,g′(x)<0,g (x)單調(diào)遞減,
則g (x)取得最大值時x的值為x0=.
綜上,當0<a≤2時,g (x)取得最大值時x的值為1;
當a>2時,g (x)取得最大值時x的值為.
(3)設(shè)h (x)=f (x)-f ′(x)=2x3-3(a+2)x2+6ax+3a-2,
則h (x)≥0在有解.
h′(x)=6[x2-(a+2)x+a]=6,
因為h′(x)在上單調(diào)遞減,
因為h′(x)<h′()=-a2<0,
所以h (x)在上單調(diào)遞減,
所以h()≥0,即a3-3a2-6a+4≤0.
設(shè)t (a)=a3-3a2-6a+4(a>0),則t′ (a)=3a2-6a-6,
當a∈(0,1+)時,t′ (a)<0,t (a)單調(diào)遞減;
當a∈(1+,+∞)時,t′ (a)>0,t(a)單調(diào)遞增.
因為t (0)=4>0,t (1)=-4<0,所以t (a)存在一個零點m∈(0,1),
因為t (4)=-4<0,t (5)=24>0,所以t (a)存在一個零點n∈(4,5),
所以t (a)≤0的解集為[m,n],
故滿足條件的正整數(shù)a的集合為{1,2,3,4}.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖:橢圓的頂點為,左右焦點分別為,,
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點的直線與橢圓相交于兩點,試探究在軸上是否存在定點,使得為定值?若存在求出點的坐標,若不存在請說明理由?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,焦距為,點為橢圓上一點,,的面積為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)點為橢圓的上頂點,過橢圓內(nèi)一點的直線交橢圓于兩點,若與的面積比為,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形中,為的中點,,,,現(xiàn)在沿將折起使點到點P處,得到三棱錐,且平面平面.
(1)棱上是否存在一點,使得平面?請說明你的結(jié)論;
(2)求證:平面;
(3)求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,銳角的頂點為坐標原點,始邊為軸的正半軸,終邊與單位圓的交點分別為.已知點的橫坐標為,點的縱坐標為.
(1)求的值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過拋物線:的焦點做直線交拋物線于,兩點,的最小值為2.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)過,分別做拋物線的切線,兩切線交于點,且直線,分別與軸交于點,,記和的面積分別為和,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A,B,C三點滿足。
(1)求證:A,B,C三點共線;
(2)若A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x∈[0, ],函數(shù)f(x)=(2m+)||+m2的最小值為5,求實數(shù)m的值。
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