Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠-1．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為

1

2

，求f（x）的極值；
（2）若a∈（1，e]，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），求證：當(dāng)x₁，x₂∈[1，a]時(shí)，|F（x₁）-F（x₂）|＜1恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得到函數(shù)的定義域?yàn)閤大于0，求出f′（x），根據(jù)曲線在（2，f（2））處切線的斜率為

1

2

，得到f′（2）=

1

2

，代入導(dǎo)函數(shù)得到關(guān)于a的方程，求出a的解即得到函數(shù)的解析式，可令f′（x）=0求出x的值，在定義域內(nèi)利用x的范圍討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的增減區(qū)間，利用函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上的最大值和最小值，然后利用不等式恒成立的條件進(jìn)行求參數(shù)a的取值范圍．．

解答： 解：（1）由已知x＞0，f′（x）=x+

•a

x

由于曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為

1

2

，
所以f′（2）=

1

2

，即2+

a

2

=

1

2

，解得a=-3
所以f（x）=

1

2

x²-3lnx，f′（x）=x-

3

x

令f′（x）=0，則x=

3

或x=-

3

（舍）
當(dāng)0＜x＜

3

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

3

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
故x=

3

是f（x）的極大值點(diǎn)，且f（x）的極大值為f（

3

）=

3

2

(1-ln3)；
（2）證明：由于F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x（x＞0），
則F′（x）=x+

•a

x

-（a+1）=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
由于x＞0，a∈（1，e]，
故當(dāng)0＜x＜1或x＞a時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
當(dāng)1＜x＜a時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
故函數(shù)F（x）在[1，a]上為單調(diào)遞減函數(shù)．
所以F_min=F（a）=

1

2

a²+alna-（a+1）a=-

1

2

a²+alna-a，
F_max=F（1）=-a-

1

2

故對(duì)?x₁，x₂∈[1，a]，|F（x₁）-F（x₂）|_max=F（1）-F（a）=

1

2

a²-alna-

1

2

，
又因?yàn)閍∈（1，e]，
所以

1

2

a²-alna-

1

2

≤

1

2

e²-e-

1

2

＜1，
所以當(dāng)x₁，x₂∈[1，a]時(shí)，|F（x₁）-F（x₂）|＜1恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用：要求學(xué)生會(huì)求曲線上過某點(diǎn)的切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值．要使不等式恒成立，只要1大于等于最大值與最小值之差即可．