Question

已知函數(shù)f（x）=cos²ωxsinφ+sinωxcosωxcosφ（φ∈N^*且|φ|＜

π

4

），f（0）=f（

π

6

）
（Ⅰ）若ω=4，求φ的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象在[0，

π

6

]內(nèi)有且僅有一條對稱軸但沒有對稱中心．求關(guān)于x的方程f（x）=0在區(qū)間[0，π]內(nèi)的解．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由ω=4，f（0）=sinφ=f（

π

6

），整理可得：有tanφ=

3

3

，由|φ|＜

π

4

，即可求得φ的值．
（Ⅱ）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）+

1

4

，由已知即有x=

π

12

函數(shù)取得最大值，即ω

π

6

+

π

6

=

π

2

，可解得ω，f（x），由方程f（x）=0可得：sin（4x+

π

6

）=-

1

2

，從而可解得在區(qū)間[0，π]內(nèi)的解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²ωxsinφ+sinωxcosωxcosφ，
∵ω=4，
∵f（0）=sinφ=f（

π

6

）=cos²

2π

3

sinφ+sin

2π

3

cos

2π

3

，整理可得：sinφ=sin（φ+

ωπ

3

），
∴有tanφ=

3

3

，
∵|φ|＜

π

4

，
∴φ=

π

6

．
（Ⅱ）f（x）=cos²ωxsin

π

6

+sinωxcosωxcos

π

6

=

1+cos2ωx

4

+

3

4

sin2ωx+

1

4

=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）+

1

4

，
函數(shù)f（x）的圖象在[0，

π

6

]內(nèi)有且僅有一條對稱軸但沒有對稱中心．則x=

π

12

函數(shù)取得最大值，即ω

π

6

+

π

6

=

π

2

，解得ω=2．
∴f（x）=

1

2

sin（4x+

π

6

）+

1

4

，
方程f（x）=0可得：sin（4x+

π

6

）=-

1

2

，
4x+

π

6

=2kπ-

π

6

，或4x+

π

6

=2kπ-

5π

6

，k∈Z，
即：x=

kπ

2

-

π

12

或x=

kπ

2

-

π

4

，k∈Z，
故可解得：當k=1時，x=

5π

12

或

π

4

，但k=2時，x=

11π

12

或

3π

4

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．