Question

7．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形，又PD⊥底面 ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，利用三角形中位線定理和菱形的性質(zhì)，證出DN∥MQ．利用線面平行判定定理，即可證出DN∥平面PMB；
（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，從而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用線面垂直的判定定理，證出MB⊥平面PAD，結(jié)合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；
（3）證明△BCD為等邊三角形，設(shè)CD中點(diǎn)為E，連接PE，DE，可得∠PBE為直線PB與平面PCD所成角．

解答 （1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，
因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn)，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
∵M(jìn)Q?平面PMB，DN?平面PMB
∴DN∥平面PMB；…（5分）
（2）證明：∵PD⊥底ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB
又∵底面ABCD為菱形，∠A=60°且M為AD中點(diǎn)，
∴MB⊥AD．
又∵AD、PD是平面PAD內(nèi)的相交直線，∴MB⊥平面PAD．
∵M(jìn)B?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD； …（8分）
（3）解：設(shè)CD中點(diǎn)為E，連接PE，DE，
∵底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a 的菱形
∴△BCD是等邊三角形，
∴BE⊥DC，
∵PD⊥底面 ABCD，
∴PD⊥BE，
∴BE⊥平面PCD，
∴∠PBE為直線PB與平面PCD所成角，
∵BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PA=$\sqrt{2}a$，
∴sin∠BPE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊的四棱錐，求證線面平行、面面垂直并求直線與平面所成的角，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明和空間角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．