Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=a²，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）分別是橢圓的左、右兩焦點，過F₁且傾斜角為α$（{α∈（{0，\frac{π}{2}}]}）$的動直線l交橢圓C于A，B兩點，交圓O于P，Q兩點（如圖所示，點A在x軸上方）．當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，弦PQ的長為$\sqrt{14}$． 
（1）求圓O與橢圓C的方程；
（2）若2|BF₂|=|AF₂|+|AB|，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）取PQ的中點D，連接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的長為$\sqrt{14}$，求出OQ，可得a，結(jié)合隱含條件求得b，則圓O和橢圓C的方程可求；
（2）由（1）可得橢圓的長半軸長及離心率，設(shè)B的坐標(biāo)，利用焦半徑公式可得|BF₂|，|AF₂|，代入2|BF₂|=|AF₂|+|AB|，求出B的坐標(biāo)，由直線方程的兩點式求得B、F₁所在直線方程，即直線PQ的方程．

解答 解：（1）取PQ的中點D，連接OD，OP，
由$α=\frac{π}{4}$，c=1，可得OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵弦PQ的長為$\sqrt{14}$，
∴$O{Q}^{2}=\frac{P{Q}^{2}}{4}$+OD²=4，
∴a²=4，b²=a²-c²=3，
∴圓O的方程為x²+y²=4，
橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知，a=2，e=$\frac{1}{2}$，
又2|BF₂|=|AF₂|+|AB|，得2|BF₂|=|AF₂|+|AF₁|+|BF₁|，
∴2|BF₂|=4+|BF₁|，
設(shè)B（x₀，y₀），則|BF₂|=$2-\frac{1}{2}{x}_{0}$，|BF₁|=$2+\frac{1}{2}{x}_{0}$，
代入2|BF₂|=4+|BF₁|，得$2（2-\frac{1}{2}{x}_{0}）=4+2+\frac{1}{2}{x}_{0}$，解得${x}_{0}=-\frac{4}{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得${y}_{0}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$．
∴B（$-\frac{4}{3}，-\frac{\sqrt{15}}{3}$），
則直線PQ的方程為：$\frac{y}{-\frac{\sqrt{15}}{3}}=\frac{x+1}{-\frac{4}{3}+1}$，即$\sqrt{15}x-y+\sqrt{15}=0$．

點評 本題考查圓和橢圓的方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．