Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E．F分別是PC．PD的中點(diǎn)，PA=AB=1，BC=2．
（I）求證：EF∥平面PAB；
（II）求證：平面PAD⊥平面PDC；
（III）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后，進(jìn)而可求出直線EF，AB的方向向量，利用向量法，可證EF∥AB，進(jìn)而線面平行的判定定理，得到答案．
（II）根據(jù)（I）中各向量的坐標(biāo)，我們易得到

AP

•

DC

=0，

DC

•

AD

=0，即AP⊥DC，AD⊥DC，根據(jù)線面垂直的判定定理，我們可以得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAD⊥平面PDC；
（III）分別求出平面APD與平面BPD的法向量，然后代入向量夾角公式，即可求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）
∴E=（

1

2

，1，

1

2

），F(xiàn)（0，1，

1

2

），
∴

EF

=（-

1

2

，0，0），

PB

=（1，0，-1），

PD

=（0，2，-1），

AP

=（0，0，1），

AD

=（0，2，0），

DC

=（1，0，0），

AB

=（1，0，0），
（Ⅰ）∵

EF

=（-

1

2

，0，0），

AB

=（1，0，0），
∴

EF

∥

AB

∴EF∥AB，
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（Ⅱ）∵

AP

•

DC

=（1，0，0）•（0，0，1）=0，

DC

•

AD

=（0，2，0）•（1，0，0）=0，
∴

AP

⊥

DC

，

DC

⊥

AD

，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又∵AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴DC⊥平面PAD．∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．
（Ⅲ）設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，則
∴

n • PB =0 n • PD =0

，即

x-z=0 2y-z=0

，解得平面APC的一個(gè)法向量

n

=(2，1，2)．
而平面APD的一個(gè)法向量是

DC

=（1，0，0），設(shè)二面角A-PD-B為θ，
則cosθ=

n • DC

| n |•| DC |

=

2

3

．
即二面角A-PD-B的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面觚 平面角及其求法，其中利用向量法，可以降低本題的難度，但要選擇合適的原點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．