Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-（m+1）x+m（m∈R）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，不等式f（x）＞ax-5在（0，3）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）△=（m+1）²-4m=（m-1）²≥0，討論f（x）=0的解，結(jié)合函數(shù)圖象得出f（x）＜0得解；
（2）令F（x）=f（x）-ax+5，則F（x）在（0，3）上的最小值大于0．

解答 解：（1））△=（m+1）²-4m=（m-1）²≥0，
①當(dāng)m=1時(shí)，△=0，方程f（x）=0的解為x=$\frac{m+1}{2}$，
∵f（x）的圖象開口向上，
∴f（x）＜0的解為∅．
②當(dāng)m≠1時(shí)，△＞0，方程f（x）=0的解為x₁=m，x₂=1．
∴當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）＜0的解為m＜x＜1，
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）＜0的解為1＜x＜m．
綜上，當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）＜0的解為m＜x＜1；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）＜0的解為∅；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）＜0的解為1＜x＜m．
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，f（x）=x²+x-2．
令F（x）=f（x）-ax+5=x²+（1-a）x+3．
則F（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=$\frac{a-1}{2}$．
①當(dāng)$\frac{a-1}{2}$≤0，即a≤1時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，3）上是增函數(shù)，
F_min（x）=F（0）=3＞0，符合題意．
②當(dāng)$\frac{a-1}{2}$≥3，即a≥7時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，3）上是減函數(shù)，
F_min（x）=F（3）=15-3a≥0，
解得a≤5，舍去．
③當(dāng)0＜$\frac{a-1}{2}$＜3，即1＜a＜7時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，$\frac{a-1}{2}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{a-1}{2}$，3）上是增函數(shù)，
F_min（x）=F（$\frac{a-1}{2}$）=$\frac{-{a}^{2}+2a+11}{4}$＞0，
解得1-2$\sqrt{3}$＜a＜1+2$\sqrt{3}$．
∴1＜a＜1+2$\sqrt{3}$．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1+2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次不等式的解法及函數(shù)恒成立問題和分類討論思想，找到分類標(biāo)準(zhǔn)是解題關(guān)鍵．