Question

設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線與圓C：（x-1）²+y²=1的一個(gè)交點(diǎn)為P，點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）利用

y=ρsinθ x=ρcosθ

代入圓C方程即可求得圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）先設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），根據(jù)點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，得到ρ₁=2ρ，θ₁=θ最后將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標(biāo)方程即可，再寫(xiě)出它表示什么曲線．

解答：解：（1）圓（x-1）²+y²=1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），
∵點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，∴ρ₁=2ρ，θ₁=θ．（7分）
將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標(biāo)方程，得ρ=cosθ．
∴點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ，
它表示圓心在點(diǎn)(

1

2

，0)，半徑為

1

2

的圓．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．