Question

設(shè)過原點O的直線與圓C：（x-1）²+y²=1的一個交點為P，點M為線段OP的中點．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求點M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線．

Answer 1

解：（1）圓（x-1）²+y²=1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．（4分）
（2）設(shè)點P的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），點M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），
∵點M為線段OP的中點，∴ρ₁=2ρ，θ₁=θ．（7分）
將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標(biāo)方程，得ρ=cosθ．
∴點M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ，
它表示圓心在點，半徑為的圓．（10分）
分析：（1）利用 代入圓C方程即可求得圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）先設(shè)點P的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），點M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），根據(jù)點M為線段OP的中點，得到ρ₁=2ρ，θ₁=θ最后將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標(biāo)方程即可，再寫出它表示什么曲線．
點評：本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．