Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為6，其離心率為

7

4

．若l₁，l₂是橢圓C的兩條相互垂直的切線，l₁，l₂的交點為點P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記點P的軌跡為C′，設(shè)l₁，l₂與軌跡C′的異于點P的另一個交點分別為M，N，求△PMN的面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出b，再利用離心率為

7

4

，求出a，即可求橢圓C的方程；
（2）先確定點P的軌跡方程，再表示出△PMN的面積，利用換元法，即可求△PMN的面積的取值范圍．

解答： 解：（1）因為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為6，
所以2b=6，所以b=3，
因為離心率為

7

4

，所以1-

9

a2

=

7

16

，
所以a=4，
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

9

=1．…（5分）
（2）①若直線l₁的斜率存在且不為零時，設(shè)為k，設(shè)P（x₀，y₀），則直線l₁的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
即y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀．
代入橢圓方程可得（16k²+9）x²+32kmx+16m²-144=0．
直線l₁是橢圓的切線，所以△=0，所以m²=16k²+9，
坐標原點O到直線l₁的距離d₁=

|m|

1+k2

，所以d₁²=

16k2+9

1+k2

．
設(shè)坐標原點O到直線l₁的距離為d₂，同理可得d₂²=

9k2+16

1+k2

．
所以|OP|²=d₁²+d₂²=25．
②若直線l₁的斜率不存在或為零時，容易驗證|OP|²=d₁²+d₂²=25，
所以P的軌跡C′是圓x²+y²=25…（10分）
S_△PMN=

1

2

|PM||PN|=2d₁d₂．
若直線l₁的斜率存在且不為零時，d₁²=

16k2+9

1+k2

，則d₁∈（3，4）；若直線l₁的斜率為零，則d₁=3；
若直線l₁的斜率不存在，則d₁=4．所以d₁∈[3，4]．
S_△PMN=

1

2

|PM||PN|=2d₁d₂=2

d12(25-d12)

，
令t=d12，則t∈[9，16]．所以S_△PMN=2

t(25-t)

∈[24，25]．
所以△PMN的面積的取值范圍為[24，25]．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程與性質(zhì)，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．