Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線：x²=4

2

y的焦點重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點，離心率e=

3

3

，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，且MN∥AB，問是否存在常數(shù)λ，使|AB|=λ

|MN|

？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）根據(jù)拋物線方程得它的焦點坐標為（0，

2

），可得橢圓的上頂點為（0，

2

），得b=

2

，結合橢圓的離心率，可解出a、c的值，即可得到橢圓C的方程；
（II）設l：x=my+1，代入橢圓方程，求出|MN|，直線AB的方程為x=my，代入橢圓方程，求出|AB|²，即可得出結論．

解答： 解：（I）拋物線x²=4

2

y的焦點坐標（0，

2

），可得橢圓的上頂點為（0，

2

），得b=

2

∵橢圓的離心率e=

3

3

，得

c

a

=

3

3

，解得a=

3

，c=1
∴橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設l：x=my+1，代入橢圓方程，可得（2m²+3）y²+4my-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

，
∴|MN|=

1+m2

|y₁-y₂|=

4 3 (1+m2)

2m2+3

，
直線AB的方程為x=my，代入橢圓方程得y²=

6

2m2+3

，
∴|AB|²=

24(1+m2)

2m2+3

，
∴

|AB|2

|MN|

=

12

，
∴λ=

4	12

，
∴存在常數(shù)λ=

4	12

，使|AB|=λ

|MN|

．

點評：本題考查橢圓、拋物線的簡單性質，直線與圓錐曲線關系等知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．