Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，$g（x）=-\frac{1+a}{x}$．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而進(jìn)一步確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意可知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，…（3分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由表可知，f（x）在x=1處取到極小值為1，無極大值．…（7分）
（2）∵$h（x）=x-alnx+\frac{1+a}{x}$∴$h'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}=\frac{{（x+1）[{x-（1+a）}]}}{x^2}$…（9分）
①當(dāng)a+1＞0即a＞-1時(shí)，令h'（x）＜0得0＜x＜a+1
令h'（x）＞0得x＞a+1…（11分）
②當(dāng)a+1≤0即a≤-1時(shí)，h'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，…（13分）
綜上，當(dāng)a＞-1時(shí)，h（x）的遞減區(qū)間為（0，a+1），遞增區(qū)間為（a+1，+∞）；
當(dāng)a≤-1時(shí)，h（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．