Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中m，n，k∈R．
（1）若m=n=k=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若n=k=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2 ， 求證： ＜f（x1）+f（x2）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=n=k=1，f′（x）= ，

∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，0），（1，+∞）；

（2）解：若n=k=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，則m≥0．

m=0，f（x）= ，f′（x）= ≥0，∴f（x）min=f（0）=1；

m＞0，f′（x）= ，

0＜m≤ ，f（x）min=f（0）=1；

m≥ ，f（x）在[0， ]上為減函數(shù)，在[ ，+∞）上為增函數(shù)，f（x）min＜f（0）=1不成立．

綜上所述，0≤m≤ ；

（3）證明：f（x）= ，f′（x）= ．

∵f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．

令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2= ，

注意到 （i=1，2），

∴f（x1）= ，f（x2）= ，

∴f（x1）+f（x2）= = （ ）

＞ = = ；

∵ （ ）＜ ＜ ，

∴ ＜f（x1）+f（x2）＜ ．

【解析】（1）若m=n=k=1，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若n=k=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，先確定m≥0，在分類討論，確定函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2= ，再結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．