已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,離心率為,且短軸的一個(gè)端點(diǎn)到下焦點(diǎn)F的距離是
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)設(shè)直線y=-2與y軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程,利用短軸的一個(gè)端點(diǎn)到下焦點(diǎn)F的距離是,離心率為,可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(0,-1),P(0,-2),且直線l的斜率存在,設(shè)其方程代入橢圓方程,從而可表示△PAB面積,利用基本不等式,即可求得△PAB面積的最大值.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)橢圓C的方程是(a>b>0).…(1分)
因?yàn)槎梯S的一個(gè)端點(diǎn)到下焦點(diǎn)F的距離是,離心率為
所以,c=1
所以b2=a2-c2=1
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是                 …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(0,-1),P(0,-2),且直線l的斜率存在,
設(shè)其方程為:y=kx-1,代入橢圓方程可得(2+k2)x2-2kx-1=0…(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.…(7分)
所以△PAB面積S△PAB=|x1-x2|(x1,x2異號).
所以S△PAB==…(12分)
當(dāng)且僅當(dāng),即k=0時(shí),S△PAB有最大值是
所以當(dāng)k=0時(shí),△PAB面積的最大值是…(13分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計(jì)算,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,1),離心率等于
2
5
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),若
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,求證:λ12為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,中心在原點(diǎn),離心率e=
3
3
,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,點(diǎn)M是橢圓上異于A1、A2的任意一點(diǎn),設(shè)直線MA1、MA2的斜率分別為kMA1、kMA2,證明kMA1kMA2為定值;
(Ⅲ)設(shè)橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,A1、A2為長軸兩個(gè)端點(diǎn),M為橢圓上異于A1、A2的點(diǎn),kMA1、kMA2分別為直線MA1、MA2的斜率,利用上面(Ⅱ)的結(jié)論得kMA1kMA2=
 
(只需直接填入結(jié)果即可,不必寫出推理過程).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,離心率為
2
2
,且短軸的一個(gè)端點(diǎn)到下焦點(diǎn)F的距離是
2

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)設(shè)直線y=-2與y軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,中心在原點(diǎn),離心率e=
3
3
,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,點(diǎn)M是橢圓上異于A1、A2的任意一點(diǎn),設(shè)直線MA1、MA2的斜率分別為KMA1、KMA2,證明KMA1•KMA2為定值;
(Ⅲ)設(shè)橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,A1、A2為長軸兩個(gè)端點(diǎn),M為橢圓上異于A1、A2的點(diǎn),KMA1、KMA2分別為直線MA1、MA2的斜率,利用上面(Ⅱ)的結(jié)論得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
(只需直接填入結(jié)果即可,不必寫出推理過程).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案