Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)M是橢圓上異于A₁、A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA₁、MA₂的斜率分別為kMA1、kMA2，證明kMA1•kMA2為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，A₁、A₂為長軸兩個(gè)端點(diǎn)，M為橢圓上異于A₁、A₂的點(diǎn)，kMA1、kMA2分別為直線MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得kMA1•kMA2=

 

（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，知b=

|0-0+2|

2

=

2

，

c

a

=

3

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由橢圓方程得A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x_o，y_o），則

xo2

3

+

yo2

2

=1?yo2=

2

3

(3-xo2)，由此能證明kMA1•kMA2是定值．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論得kMA1•kMA2=-

b

a

．

解答：解：（Ⅰ）∵離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，
∴b=

|0-0+2|

2

=

2

，

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，
∴橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1
（Ⅱ）證明：由橢圓方程得A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x_o，y_o）
則

xo2

3

+

yo2

2

=1?yo2=

2

3

(3-xo2)，
kMA1=

yo

xo+ 3

，kMA2=

yo

xo- 3

，
∴kMA1•kMA2=

yo2

xo2-3

=

2 3 (3-xo2)

xo2-3

=-

2

3

∴kMA1•kMA2是定值
（Ⅲ）kMA1•kMA2=-

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，證明kMA1•kMA2為定值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．