Question

6．已知一條曲線C在y軸右側，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點P是曲線C上一個動點，點Q是直線x+2y+5=0上一個動點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設出曲線上動點P的坐標，由題意列等式，化簡得答案；
（2）求出與直線x+2y+5=0平行，且與拋物線相切的直線方程，由兩平行線間的距離公式得答案．

解答 解：（1）設P（x，y）是曲線C上任意一點，
那么點P（x，y）滿足$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-x=1（x＞0）$，
化簡得y²=4x（x＞0）；
（2）如圖，設與直線x+2y+5=0平行且與曲線y²=4x（x＞0）相切的直線方程為x+2y+m=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²+8y+4m=0．
由△=8²-16m=0，得m=4．
∴切線方程為x+2y+4=0．
則兩平行線x+2y+5=0與x+2y+4=0間的距離即為|PQ|的最小值，等于$\frac{|5-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，訓練了求兩曲線上動點間距離的最小值的求法，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．