Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x；
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值：
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）由（1）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，從而求最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x，
∴f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
∴當(dāng)x∈（-∞，1）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為[1，2]；
故f（x）在x=1處有極大值為f（1）=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{6}$，
在x=2處有極小值為f（2）=$\frac{1}{3}$×8-$\frac{3}{2}$×4+2×2=$\frac{2}{3}$；
（2）由（1）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，
且f（0）=0，f（1）=$\frac{5}{6}$，f（2）=$\frac{2}{3}$；
故f（x）在[0，2]上的最大值為$\frac{5}{6}$，最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．