Question

△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，則b邊所對的角為

1. A.
   銳角
2. B.
   鈍角
3. C.
   直角
4. D.
   不能確定

Answer 1

A
分析：方法一：使用余弦定理，由已知求出 ，計算cosB=的符號，進而可求B的范圍
方法二：反證法，假設 ，則 b為最大邊，有b＞a＞0，b＞c＞0，結合已知進行推導可求
方法三：反證法由題意可得=，故b邊不是最大邊，也不是最小邊．假設B≥，則最大邊所對的角大于 ，這與三角形內角和相矛盾，從而可得
解答：方法一：由題意可得 ．
∴，
∵=．
即cosB=＞0
故
法2：反證法：假設
則有b＞a＞0，b＞c＞0．
則
可得 與已知矛盾，
假設不成立，原命題正確．
（法三）∵△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，
∴=，故b邊不是最大邊，也不是最小邊．
若B≥，則最大邊所對的角大于 ，這與三角形內角和相矛盾，故 ．
點評：本題主要考查了利用余弦定理解三角形，其中方法一 使用余弦定理直接求解，方法二、三，使用反證法，方法二，三比較簡單．