Question

2．直線y=-x+b與曲線$y=\sqrt{4-{x^2}}$有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（　�。�

• A． 2＜b＜2$\sqrt{2}$
• B． 2≤b＜2$\sqrt{2}$
• C． 2≤b≤2$\sqrt{2}$
• D． 2＜b≤2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由曲線$y=\sqrt{4-{x^2}}$變形為x²+y²=4（y≥0），畫出y=-x+b，x²+y²=4（y≥0）圖象．當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，0），（0，2）時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求出此時(shí)b．再求出當(dāng)直線與曲線相切時(shí)b的值即可．

解答 解：由曲線$y=\sqrt{4-{x^2}}$變形為x²+y²=4（y≥0）
畫出y=-x+b，x²+y²=4（y≥0）圖象，
①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，0），（0，2）時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b=2．
②當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，聯(lián)立直線y=-x+b與曲線$y=\sqrt{4-{x^2}}$，
化為2x²+2bx+b²-4=0，令△=4b²-8（b²-4）=0，解得b=2$\sqrt{2}$．
因此，當(dāng)2≤b＜2$\sqrt{2}$時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)．
∴b的取值范圍是2≤b＜2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有條件的直線與圓相交相切問題、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．