Question

（本題滿分13分）如圖，分別過橢圓：左右焦點、的動直線相交于點，與橢圓分別交于不同四點，直線的斜率、、、滿足．已知當軸重合時，，．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在定點，使得為定值．若存在，求出點坐標并求出此定值，若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

（1） （2）M、N坐標分別為；為定值

【解析】

試題分析：（1）由已知條件推導出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出橢圓E的方程．

（2）焦點F1、F2坐標分別為（-1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設斜率分別為m1，m2，設A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得(2+3m12)x2+6m12x+3m12?6＝0，由此利用韋達定理結合題設條件能推導出存在點M，N其坐標分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．

（1）當l1與x軸重合時，，即， 2分

∴ l2垂直于x軸，得，，（4分）

得，，　　∴ 橢圓E的方程為． 5分

（2）焦點、坐標分別為(—1，0)、(1，0)．

當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為(—1，0)或(1，0)． 6分

當直線l1、l2斜率存在時，設斜率分別為，，設，，

由得：，

∴ ，．（7分）

，

同理． 9分

∵， ∴，即．

由題意知，　∴．

設，則，即， 11分

由當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為(—1，0)或(1，0)也滿足此方程，

∴點橢圓上， 12分

∴ 存在點M、N其坐標分別為，使得為定值． 13分

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．