Question

某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為x億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造為y億元．該市決定制定生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；②每年改造生態(tài)環(huán)境總費用至少a億元，至多b億元；③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的25%．若a=1，b=4，請你分析能否采用函數(shù)模型y=

1

100

(x3+4x+16)作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵y′=

1

100

(3x2+4)＞0，
∴函數(shù)y=

1

100

(x3+4x+16)是增函數(shù)，滿足條件①．
設(shè)g(x)=

y

x

=

1

100

(x2+4+

16

x

)，
則g′(x)=

1

100

(2x-

16

x2

)=

(x-2)(x2+2x+4)

50x2

，
令g'（x）=0，得x=2．
當(dāng)x＜2時，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞2時，g'（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，
又a=1，b=4，即x∈[1，2]，g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[1，4]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時，g（x）有最小值=16%＞15%，
當(dāng)x=4時，g（x）=24%＜25%，x=1時，g（x）=25%≤25%．
∴能采用函數(shù)模型y=

1

100

(x3+4x+16)作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案．

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．