Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|：
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若存在x₀∈[-$\frac{3}{2}$，2]使不等式a+1＞f（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的表達(dá)式，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為：a+1＞（f（x））_min，求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+3|+|x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+2，x≥1}\\{4，-3＜x＜1}\\{-2x-2，x≤-3}\end{array}\right.$，
∴f（x）＞6?$\left\{\begin{array}{l}{2x+2＞6}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2＞6}\\{x≤-3}\end{array}\right.$，
?x＞2或x≤-4；
綜上所述，不等式的解集為：（-∞，-4]∪（2，+∞）；
（2）若存在x₀∈[-$\frac{3}{2}$，2]使不等式a+1＞f（x₀）成立，
?a+1＞（f（x））_min，
由（1）知，x∈[-$\frac{3}{2}$，1]時(shí)，f（x）=4，
∴（f（x））_min=4，
a+1＞4?a＞3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了絕對(duì)值不等式的解法，考察轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．