Question

若0＜α＜

π

2

＜β＜π，cos（β-

π

4

）=

5

13

，sin（α+β）=

4

5

．
（1）求sin2β；
（2）求cos（α+

π

4

）；
（3）求cosβ．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用sin2β=cos（

π

2

-2β）=cos（2β-

π

2

）由倍角公式求之；
（2）求出sin（β-

π

4

）=

12

13

，cos（α+β）=-

3

5

，利用cos（α+

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]展開(kāi)求之；
（3）cosβ=cos（β-

π

4

+

π

4

）展開(kāi)求之．

解答： 解：（1）sin2β=cos（

π

2

-2β）=cos（2β-

π

2

）=2cos²（β-

π

4

）-1=2×（

5

13

）²-1=-

119

169

；
（2）因?yàn)?＜α＜

π

2

＜β＜π，cos（β-

π

4

）=

5

13

，sin（α+β）=

4

5

．
所以sin（β-

π

4

）=

12

13

，cos（α+β）=-

3

5

，
cos（α+

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]=cos（α+β）cos（β-

π

4

）+sin（α+β）sin（β-

π

4

）=-

3

5

×

5

13

+

4

5

×

12

13

=

33

65

；
（3）cosβ=cos（β-

π

4

+

π

4

）=cos（β-

π

4

）cos

π

4

-sin（β-

π

4

）sin

π

4

=

5

13

×

2

2

-

12

13

×

2

2

=-

7 2

26

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)中角的等價(jià)變換求三角函數(shù)值，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)角的關(guān)系以及角的符號(hào)，求出三角函數(shù)值．