Question

（1）證明：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（a，b∈R）；
（2）利用（1）的結(jié)論證明：
①|(zhì)x+2|-|x-1|≤3，
②|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|+|x-7|≥9，并指出等號(hào)成立的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式

分析：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），定義復(fù)數(shù)z的模為：|z|=

a2+b2

，對(duì)任意復(fù)數(shù)z₁，z₂，不等式||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|，由此能證明||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（a，b∈R）．
（2）①由（1）得|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3．
②由（1）得|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|+|x-7|≥|x-1+x-2+x-3+5-x+7-x|≥9．當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，取等號(hào)．

解答： （1）證明：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），定義復(fù)數(shù)z的模為：
|z|=

a2+b2

，
對(duì)任意復(fù)數(shù)z₁，z₂，不等式||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|，
同理，設(shè)平面向量

a

={x，y}，定義向量的模為：|

a

|=

x2+y2

，
對(duì)于任意向量

a

，

b

，得||

a

|-|

b

||≤|

a

±

b

|≤|

a

|+|

b

|．
∴||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（a，b∈R）．
（2）①證明：由（1）得|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3．
當(dāng)且僅當(dāng)x≥1時(shí)，取等號(hào)．
②證明：由（1）得：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|+|x-7|
≥|x-1+x-2+x-3+5-x+7-x|
=|-1-2+x-3+5+7|
≥9．
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．