Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}與等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁+1，a₂=b₂=4，且公差比公比小1．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）_{n}}$，試求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立a₁=b₁+1，a₁+d=b₁q=4，q=d+1，可求出兩數(shù)列的首項即公差、等比，進而利用公式計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知c_n=$\frac{1}{{n•2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$，進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=b₁+1，a₂=b₂=4，且公差比公比小1，
∴a₁=b₁+1，a₁+d=b₁q=4，q=d+1，
解得：d=1，q=2，a₁=3，b₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3+n-1=n+2，
數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=n+2，b_n=2ⁿ，
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{n•2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2•{2}^{1}}$+$\frac{1}{2•{2}^{1}}$-$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n•2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$
=1-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．