Question

16．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（?＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．，若$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=$\frac{{π}^{2}}{16}$-4，為了得到函數(shù)f（x）的圖象只要把函數(shù)y=2sinx圖象上所有的點(diǎn)（　�。�

• A． 橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位
• B． 橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位
• C． 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位
• D． 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位

Answer 1

分析 利用直角三角形中的邊角關(guān)系、余弦定理求出周期T，再由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（?＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象，可得PQ=QR=$\sqrt{{（\frac{T}{4}）}^{2}{+2}^{2}}$，
cos$\frac{∠PQR}{2}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{{T}^{2}}{16}+4}}$，∴cos∠PQR=2${cos}^{2}\frac{∠PQR}{2}$-1=$\frac{64{-T}^{2}}{64{+T}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=PQ•QR•cos（π-∠PQR ）=（$\frac{{T}^{2}}{16}$+4）•（-$\frac{64{-T}^{2}}{64{+T}^{2}}$ ）=$\frac{{π}^{2}}{16}$-4，∴T=π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
把函數(shù)y=2sinx圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y=2sin2x圖象；
再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，可得函數(shù)y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，利用直角三角形中的邊角關(guān)系、余弦定理求出周期T，再由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．