Question

11．已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax²-2bx-a+b的定義域為[0，1]
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求b的取值范圍；
（Ⅱ） 記f（x）的最大值為M，證明：f（x）+M＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令f（x）=0，則x=$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{-1+b}{2}$，結(jié)合題意可得b的取值范圍；
（Ⅱ）求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，可得最值，即可證明f（x）+M＞0

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=4x²-2bx-1+b，
令f（x）=0，則x=$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{-1+b}{2}$，
若函數(shù)f（x）在定義域[0，1]內(nèi)有兩個不同的零點，
則$\frac{-1+b}{2}$∈[0，1]，且$\frac{-1+b}{2}$$≠\frac{1}{2}$，
解得：b∈[1，2）∪（2，3]
證明：（Ⅱ） 要證明：f（x）+M＞0，
即證明：f（x）_max+f（x）_min＞0
∵函數(shù)f（x）=4ax²-2bx-a+b的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{4a}$為對稱軸的拋物線，
①$\frac{4a}$＜0，或$\frac{4a}$＞1時，f（x）_max+f（x）_min=f（0）+f（1）=-a+b+3a-b=2a＞0；
②0≤$\frac{4a}$＜$\frac{1}{2}$，即0≤b＜2a時，f（x）_max+f（x）_min=f（$\frac{4a}$）+f（1）=-a+b-$\frac{^{2}}{4a}$+3a-b=2a-$\frac{^{2}}{4a}$=$\frac{8{a}^{2}-^{2}}{4a}$＞$\frac{4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
③$\frac{1}{2}$≤$\frac{4a}$≤1，即2a≤b≤4a時，f（x）_max+f（x）_min=f（$\frac{4a}$）+f（0）=-a+b-$\frac{^{2}}{4a}$-a+b=2b-2a-$\frac{^{2}}{4a}$=$\frac{8ab-8{a}^{2}-^{2}}{4a}$=$\frac{-（{b-4a）}^{2}+8{a}^{2}}{4a}$≥$\frac{4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
綜上可得：f（x）_max+f（x）_min＞0恒成立，即f（x）+M＞0

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．