Question

（本題滿分14分）已知函數其中a>0,且a≠1，
（1）求函數的定義域；
（2）當0＜a＜1時，解關于x的不等式；
（3）當a＞1，且x∈[0，1)時，總有恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）函數f(x)的定義域為；（2）；（3）m≤0。

解析試題分析：（1）由真數大于零，可得函數的定義域.
（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)，因為0<a<1,則對數函數是減函數，
所以.
(3) a＞1且x∈[0，1）時恒成立.
然后研究真數的取值范圍，再結合對數函數的單調性可求出的最小值，讓m小于等于其最小值即可.
（1）函數f(x)的定義域為………3分
（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)
∵0＜a＜1 ∴……………………………………（8分）
（3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時恒成立.……（9分）
設，令t=1-x，t∈（0,1],∴……（10分）
設  
,
∴u(t)的最小值為1……………………………（12分）
又∵a＞1，的最小值為0…………………（13分）
∴m的取值范圍是m≤0…………………………………（14分）
考點：對數函數的定義域，解對數不等式，對數函數的性質，不等式恒成立，對數函數的最值.
點評：對數的真數大于零，就是求函數的定義域的依據之一；
利用對數函數的單調性求解不等式轉化為真數的大小關系；
不等式恒成立問題，在參數與變量分離的情況下可轉化為函數的最值問題來解.