Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-x+alnx，其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[1，4]上的最值；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在[1，4]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值；
（2）函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，f′（x）=

2x2-x+a

x

=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，可得2x²-x+a=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解答： 解：（1）a=-6，f（x）=x²-x+alnx，
∴f′（x）=

(2x+3)(x-2)

x

，x＞0
∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，
∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（x）_max=max{f（1），f（4）}，
∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，
∴f（x）_max=12-12ln2；
（2）∵函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，
∴f′（x）=

2x2-x+a

x

=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴2x²-x+a=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
令g（x）=2x²-x+a，則

△=1-8a＞0 g(0)=a＞0

，
解得0＜a＜

1

8

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值與最值，考查不等式的證明，難度中等．