Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）求證f（x）在定義域上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x），
即ln=-ln=ln，則=，化簡得：4-x²=a²-x²，
解得a=±2，當a=-2時，f（x）=ln（-1）故舍去，故a=2．
（2）由（1）知，a=2故f（x）=ln，
要使函數(shù)有意義，則＞0，即（2-x）（2+x）＞0，
解得，-2＜x＜2；故函數(shù)f（x）的定義域（-2，2）．
（3）證明：任取實數(shù)x₁，x₂∈（-2，2），且x₁＜x₂，
∴-==；
∵x₁，x₂∈（-2，2），x₁＜x₂；
∴2+x₁＞0，2+x₂＞0；x₂-x₁＞0，
∴-＞0，即＞，
∵函數(shù)y=lnx在定義域內(nèi)時增函數(shù)，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定義域（-2，2）上是單調(diào)減函數(shù)．
分析：（1）由奇函數(shù)的定義知f（x）=-f（-x），列出關(guān)于a的方程求解，注意把所求的值代入驗證；
（2）把（1）的結(jié)果代入，根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零列不等式求解，最后用集合或區(qū)間的形式表示；
（3）在定義域內(nèi)任取兩個自變量且規(guī)定大小，在作差比較真數(shù)和的大小，用通分后在化簡，判斷符號后再根據(jù)y=lnx的單調(diào)性，判斷出f（x₁）和f（x₂）的大�。�
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和用定義法證明單調(diào)性，對于含有對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在證明時，先對真數(shù)作差比較真數(shù)的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較f（x₁）和f（x₂）大小．