Question

11．已知點(diǎn)P在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，點(diǎn)Q在橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，集合{（P，Q）|ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$}，當(dāng)ω取得最大值時(shí)，集合中符合條件的元素有幾個(gè)（　　）

• A． 2個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 8個(gè)
• D． 無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 由題意設(shè)P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和的余弦定理，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷集合中符合條件的元素個(gè)數(shù)．

解答 解：P（6cosα，2sinα），α∈[0，2π），Q（cosβ，3sinβ），α∈[0，2π），
$\overrightarrow{OP}$=（6cosα，2sinα），$\overrightarrow{OQ}$=（cosβ，3sinβ），
由ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），-2π＜α-β＜2π，
∴α-β=2kπ，
∴k=0，則α=β，
∴當(dāng)P和Q共線時(shí)，ω取得最大值，
故這樣的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和的余弦公式，余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．