已知函數(shù)f(x)=x+
m
x
，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，5）．
（1）求實(shí)數(shù)m的值并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．
（3）解關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式f(
2-2x
)＜5．
分析：（1）把（1，5）代入函數(shù)f（x），可求得m=4，利用奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（2）函數(shù)在（0，2）上單調(diào)減，利用單調(diào)性的定義證明，取值，作差，變形，定號(hào)下結(jié)論；
（3）不等式f(
2-2x
)＜5，等價(jià)于f(
2-2x
)＜f（1），由（2）知
2-2x
＞1，從而可得不等式的解集．
解答：解：（1）把（1，5）代入函數(shù)f（x）得f（1）=1+m=5，解得m=4
∴f(x)=x+
4
x

∵f(-x)=-x+
4
-x
=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)在（0，2）上單調(diào)減，證明如下：
取0＜x1＜x2＜2，則f（x2）-f（x1）=（x2+
4
x2
）-（x1+
4
x1
）=（x2-x1）+4（
1
x2
-
1
x1
）=（x2-x1）（1-
4
x1x2
）
因?yàn)?＜x1＜x2＜2，所以x1x2＜4，∴1-
4
x1x2
＜0，x2-x1＞0，所以f（x2）-f（x1）＜0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)減
（3）不等式f(
2-2x
)＜5，等價(jià)于f(
2-2x
)＜f（1），由（2）知
2-2x
＞1
∴2-2x＞1
∴2x＜1
∴x＜0
∴不等式的解集為（-∞，0）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查解不等式，正確運(yùn)用定義是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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