Question

9．如圖所示，點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F₂的距離是$2\sqrt{2}$，線段MF₁的中垂線交MF₂于點(diǎn)P．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與軌跡G交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為α、β，且α+β=π，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接PF₁，運(yùn)用垂直平分線定理和橢圓的定義，可得P的軌跡為橢圓，方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，再由直線恒過(guò)定點(diǎn)的方法，即可得到所求定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）連接PF₁，由$|M{F_2}|=2\sqrt{2}$，
∴$|PM|+|P{F_2}|=2\sqrt{2}$，
又∵|PM|=|PF₁|，∴$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2\sqrt{2}＞|{F_1}{F_2}|=2$，
由橢圓的定義可知2a=2$\sqrt{2}$，c=1，b=1．
即有動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）證明：依題意$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又${k}_{{F}_{1}M}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$
依題意得，${k}_{{F}_{1}M}$+${k}_{{F}_{1}N}$=0，
即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
化簡(jiǎn)得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+（m-k）（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）-2m=0，
整理得，m=-2k，
∴直線l的方程為y=k（x-2），
因此直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用垂直平分線定理和橢圓的定義，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．