Question

4．設(shè)AB是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸，若把AB給100等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P₁、P₂、…、P₉₉，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點(diǎn)，則|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉₉|+|F₁B|的值是101a．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義便可以得到$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）=2a•99$，而由題意可知P₁、P₂、…、P₉₉關(guān)于y軸對(duì)稱分布，從而便可得到$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|）=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）$，而|F₁A|+|F₁B|=2a，這樣即可得出|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉₉|+|F₁B|的值．

解答 解：由橢圓的定義知|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a（i=1，2，…，99）；
∴$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）=2a•99$；
由題意知P₁，P₂，…，P₉₉關(guān)于y軸成對(duì)稱分布；
∴$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|）=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）=99a$
又∵|F₁A|+|F₁B|=2a；
故所求的值為101a．
故答案為：101a．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的定義，橢圓的兩焦點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的長(zhǎng)軸的概念，清楚把線段100等分的概念，以及橢圓的對(duì)稱性．