Question

如圖所示的幾何體中，直線AF⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，ADEF為梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．
（Ⅰ）求證：直線CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求證：直線BD⊥平面ACF；
（Ⅲ）若直線AE⊥CF，求a的值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由AB∥CD，DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，可證平面ABF∥平面DCE即可證明CE∥平面ABF．
（II） 先證明AC⊥BD，AF⊥BD，即可證明直線BD⊥平面ACF．
（Ⅲ） 連接 FD，易證明CD⊥AE．又AE⊥CF，可證AE⊥FD．從而可得∠EAD+∠FDA=

π

2

，即有tan∠EAD=

a

1

=

1

tan∠EAD

=

1

2a

，即可解得a的值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（ I）因為ABCD為正方形，所以AB∥CD．-------------（1分）
又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．
所以平面ABF∥平面DCE．-------------（3分）
而CE?平面EDC，
所以CE∥平面ABF．-------------（4分）
（II） 因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD-------------（5分）
因為直線AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥BD，-------------（6分）
因為AF∩AC=A，
所以直線BD⊥平面ACF．-------------（8分）
（Ⅲ） 連接 FD．

因為直線AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AF=A
所以CD⊥平面ADEF，-------------（9分）
所以CD⊥AE．
又AE⊥CF，F(xiàn)C∩CD=C，
所以AE⊥平面FCD，
所以AE⊥FD．-------------（11分）
所以∠EAD+∠FDA=

π

2

，
所以tan∠EAD=

a

1

=

1

tan∠FDA

=

1

2a

解得a=

2

2

．-------------（12分）．

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．