Question

已知雙曲線C的中心在原點，拋物線y²=8x的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線過點C（

2

，

3

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設雙曲線C的左頂點為A，右焦點為F，在第一象限內任取雙曲線上一點P，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先求拋物線的焦點為F（2，0），從而設雙曲線方程，再將點（

2

，

3

）代入，可求雙曲線C的方程；
（2）先假設成立，由當PF⊥x軸時，猜想結論λ=2；以此作為條件，再進行一般性探求與證明，證明當PF與x軸不垂直時∠PFA=2∠PAF成立．

解答：解：（1）拋物線焦點為F（2，0），設雙曲線方程為

x2

4-b2

-

y2

b2

=1，將點（

2

，

3

）代入得b²=3，
所以雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．
（2）當PF⊥x軸時，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此時λ=2．
以下證明當PF與x軸不垂直時∠PFA=2∠PAF成立．
設P（x₀，y₀），則k_PA=tan∠PAF=

y0

x0+1

，kPF=-tan∠PFA=

y0

x0-2

．
tan2∠PAF=

2kPA

1-kPA2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

．由

x

2 0

-

1

3

y

2 0

=1得y₀²=3（x₀²-1）代入上式，
得tan2∠PAF=

2y0

x0+1-3(x0-1)

=-

y0

x0-2

=tan∠PFA恒成立．∵∠PFA∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)，∠PAF∈(0，

π

4

)∪(

π

4

，

π

3

)，∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，考查存在性問題，通過假設存在，轉化為封閉型命題進行求解．