Question

甲從裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一張，乙從裝有編號(hào)為2，4的卡片的箱子中任取一張，用X，Y分別表示甲，乙取得的卡片上的數(shù)字．
（Ⅰ）求概率P（X＞Y）； 
（Ⅱ）設(shè)ξ=

X，X≥Y Y，X＜Y

，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）甲從裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一張，乙從裝有編號(hào)為2，4的卡片的箱子中任取一張，則（X，Y）共有5×2=10種情況：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），
（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4）．其中滿足X＞Y的共有4中情況，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（II）ξ=2時(shí)有兩種情況：（2，2），（1，2），可得P（ξ=2）；ξ=3時(shí)只有一種情況：（3，2），可得
P（ξ=2）；ξ=4時(shí)有5種情況：（4，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），可得P（ξ=4）；
ξ=5時(shí)有兩種情況：（5，2），（5，4），可得P（ξ=2）．再利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（I）甲從裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一張，乙從裝有編號(hào)為2，4的卡片的箱子中任取一張，則（X，Y）共有5×2=10種情況：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4）．其中滿足X＞Y的共有4中情況：（3，2），
（4，2），（5，2），（5，4）．∴P(X＞Y)=

2

5

．
（II）ξ=2時(shí)有兩種情況：（2，2），（1，2），∴P（ξ=2）=

2

10

=

1

5

；
ξ=3時(shí)只有一種情況：（3，2），∴P（ξ=2）=

1

10

；
ξ=4時(shí)有5種情況：（4，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），∴P（ξ=4）=

5

10

=

1

2

；
ξ=5時(shí)有兩種情況：（5，2），（5，4），∴P（ξ=2）=

2

10

=

1

5

．
列出表格：

ξ	2	3	4	5
P	1 5	1 10	1 2	1 5

∴Eξ=2×

1

5

+3×

1

10

+4×

1

2

+5×

1

5

=

37

10

，
∴Eξ=

37

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概率的概率和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．