如圖,多面體ABC-A1B1C1和它的三視圖.
(1)線段CC1上是否存在一點(diǎn)E,使BE⊥平面A1CC1,若不存在請(qǐng)說明理由,若存在請(qǐng)找出并證明;
(2)求平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值.
考點(diǎn):直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法
專題:證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)由題意知AA1,AB,AC兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)存在一點(diǎn)E,使BE⊥平面A1CC1,設(shè)
CE
EC1
,由此利用向量法能求出線段CC1上存在一點(diǎn)E,滿足
CE
=2
EC1
,使BE⊥平面A1CC1
(2)求出平面C1A1C的法向量和平面A1CA的一個(gè)法向量,利用向量法能求出平面C1A1C與平面A1CA夾角余弦值.
解答: 證明:(1)由已知知AA1,AB,AC兩兩垂直,如圖建系,BC=2
2
,則A(0,0,0),
A1(0,0,2),B(-2,0,0),C(0,-2,0),C1(-1,-1,2),
CC1
=(-1,1,2)
A1C1
=(-1,-1,0),
A1C
=(0,-2,-2)
.…(1分)
設(shè)E(x,y,z),則
CE
=(x,y+2,z)
,&
EC1
=(-1-x,-1-y,2-z)
…(3分)
設(shè)
CE
EC1
,
x=-λ-λx
y+2=-λ-λy
z=2λ-λz

E(
1+λ
-2-λ
1+λ
,
1+λ
)
,
BE
=(
2+λ
1+λ
,
-2-λ
1+λ
,
1+λ
)
…(4分)
BE
A1C1
=0
BE
A1C
=0
-
2+λ
1+λ
+
2+λ
1+λ
=0
-2-λ
1+λ
+
1+λ
=0
,得λ=2
所以線段CC1上存在一點(diǎn)E,
CE
=2
EC1
,使BE⊥平面A1CC1…(6分)
另證:補(bǔ)形成正方體,易證CE:EC1=2:1
(2)設(shè)平面A1C1C的法向量為
m
=(x,y,z)
,則由
m
A1C1
=0
m
A1C
=0
,得
-x-y=0
-2y-2z=0
,
取x=1,則y=-1,z=1.故
m
=(1,-1,1)
,…(8分)
而平面A1AC的一個(gè)法向量為
n
=(1,0,0)
,則cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
||
n
|
=
1
3
=
3
3
…(11分)
平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值為
3
3
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的證明,考查直線與平面垂直的證明,考查平面與平面的夾角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),
OP
=x
OA
+y
OB
,且
BP
=3
PA
,則( 。
A、x=
2
3
,y=
1
3
B、x=
1
3
,y=
2
3
C、x=
1
4
,y=
3
4
D、x=
3
4
,y=
1
4

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下列給出的圖形中,繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周(如圖所示),能形成圓臺(tái)的是
 
(填序號(hào)).

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對(duì)某校高二年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取N名學(xué)生作為樣本,得到這N名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如圖:
分組頻數(shù)頻率
[3,6)10m
[6,9)np
[9,12)4q
[12,15)20.05
合計(jì)N1
(1)求出表中N,p及圖中a的值;
(2)請(qǐng)根據(jù)題中的頻率分布直方圖,估計(jì)樣本的中位數(shù)與平均數(shù).

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2008年5月18日某愛心人士為一位孤兒去銀行存款a元,存的是一年定期儲(chǔ)蓄;2009年5月18日他將到期存款的本息一起取出,再加a元后,還存一年的定期儲(chǔ)蓄,此后每年5月18日都如此;假設(shè)銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變,直到2015年5月18日這位孤兒準(zhǔn)備上大學(xué)時(shí),他將所有的存款和利息全部取出并且資助給這位孤兒,取出的錢數(shù)共為( 。
A、a(1+r)7
B、a[(1+r)7+(1+r)]元
C、
a
r
[(1+r)7-r]元
D、
a
r
[(1+r)8-(1+r)]元

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求下列函數(shù)的最小正周期.
(1)y=
1
3
cos(2x-
π
3
);
(2)y=cos|x|.

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一幾何體的正視圖和側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形,俯視圖是直徑為2的圓,則此幾何體的表面積為( 。
A、4π+2
3
B、2π+2
3
C、3π
D、2π

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